雖然擲骰子等機率遊戲提供可預測的勝率——例如擲出七點而非八點的特定機率——但現實世界的風險卻是由以下兩者之間的歧異所主導： 客觀的數學期望值 與 主觀效用。

伯努利轉換

丹尼爾·伯努利透過證明人類理性不僅僅是期望值的計算，而是衡量與直覺之間的和諧，從而改變了我們對風險的理解。他主張，任何將大部分財富押注於「公平」遊戲的人行為都是不理性的，因為損失的心理衝擊遠大於獲利的心理感受。

• 骰子的局限性：純粹從數學角度來看，零和遊戲是公平的，但伯努利警告說，若以效用衡量，它是一場「輸家的遊戲」。
• 確定等值：大多數人扮演著 風險規避者的角色，寧可選擇確定的禮物（例如 20 美元），也不願接受期望值較高（例如 25 美元）但結果不確定的賭局。
• 大自然的告誡：賭徒的魯莽程度與其暴露於風險中的總財富比例成正比增加。